Ejercicios de ley de Senos

Si aun no logras entender como funciona el Teorema de los Senos, no te preocupes, por que a continuación el equipo de Cubo Informativo te dejaremos unos Ejercicios de ley de Senos, su explicación y muchas cosas más que te ayuden a entender el funcionamiento del teorema del seno.

Ejercicios de ley de Senos

¿Qué es la Ley de los Senos?

La ley de los senos es una regla, herramienta o teorema (Como gustes llamarlo) de las matemáticas, que nos ayudan a encontrar la longitud de alguno de los lados de un triangulo no rectángulo.

Por ejemplo el siguiente triangulo es rectángulo al ser recto es muy sencillo calcular la langitud de alguno de sus lados, aplicando el teorema de Pitágoras.

¿Sabes cual es la Ley de los Senos? La ley de los senos es una regla y herramienta matemática que nos ayuda a encontrar las medidas de alguno de los lados de un triangulo no rectángulo

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

Pero ¿Qué pasa cuando trabajamos con algún TRIANGULO NO RECTÁNGULO?, pues el teorema de Pitágoras queda descartado, dando paso al teorema de los Senos, el cual establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

 establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

Si, tampoco nosotros lo entendimos a la primera, pero por eso te dejamos estos Ejercicios de ley de Senos, que te ayudaran a entenderlo, pero primero un poco de la historia de este paradigma matemático.

Historia de la Ley de los Senos

El teorema del seno tiene la finalidad de calcular la medida del angulo de un triangulo no rectángulo y fue descubierta en el siglo X y ha sido indistintamente atribuido a Abu-Mahmud Khojandi, Abu al-Wafa’ Buzjani, Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur.

Aunque muchos le atribuyen su descubrimiento a Pitágoras, pues suelen llamar a este regla matemática como la ley generalizada de Pitágoras.

¿Cómo funciona la Ley de los Senos?

La ley de los Senos tiene la finalidad de calcular la longitud de cualquiera de los lados de un triangulo no rectángulo, es decir: un triangulo cuyos lados no suelen ser rector, teniendo una base de “inclinación” que impide calcular su longitud de forma sencilla y correcta.

Entonces la le de los Senos propone lo siguiente: Establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

Y si aun no logras entender esta premisa, no te preocupes por que ahora lo entenderemos con los siguientes problemas de ley de senos.

Ejercicios de ley de Senos

Ejercicio 1: Calcular el Angulo de un triangulo

En el siguiente triangulo tenemos los lados A.B y C. Donde la longitud del lado B es de 15 cm, con un angulo de  <B = 42 y en el lado C un angulo de <C = 76°, Calcular el valor del angulo A.

ejercicio 1 triangulo no rectangulo ley de los senos

Solución:

Si tomamos en cuenta que el la suma de todos los ángulos deben ser 180°, entonces sumamos los ángulos <B y <C, donde nos da como resultado el valor de 118°.

A continuación restamos el valor de la suma de <B y <C de 180 para tener el valor del angulo a, es decir: <A = 180° – 118° = 62°.

El angulo de <A es igual a 62°.

Ejercicio 2: Calcular la longitud de un triangulo

En el siguiente triangulo tenemos el lado M, N y P, donde se conoce solo el valor del lado P, lado M y el valor del angulo <P. Calcular el valor del lado N.

Calcular la longitud de un triangulo

Solución:

Para poder calcular el valor del lado N, primero es necesario conocer el valor de cada uno de los ángulos del triangulo,, por ende aplicando la ley de los senos tenemos:

  • P/<P = M/<M = N/<N

La traducción correcta de esto sería así: La longitud de P (12 cm), dividido entre el angulo P (76°) es igual a la longitud del lado M (8 cm), entre el angulo M (?), es igual a la longitud de lado N (?), entre el angulo N (?).

En este ejercicio de ley de Senos, nos damos cuenta que tenemos el valor de la longitud del lado P y el angulo del lado P, por lo que podemos simplificar la formula para buscar el angulo del lado M.

  • P/<P = M/<M

Es necesario entender que debido a que tenemos el valor de la longitud de M, es más viable buscar el angulo de este lado y no lo contrario a el, es decir al lado N. Por ende comenzamos aplicando igualdad de signos:

P/<P = M/<M y como buscamos el valor del angulo <M, despejamos para tener

  • <M = (M * Sen(P)) / P.

Sustituyendo valores tenemos:

  • <M = (8 cm * sen(76°)) / 12 y el es igual a 0.6469,

Ahora para poder conocer el valor del angulo <M, sacamos la inversa del valor anterior obteniendo:  40.18° como valor del angulo <M

Hasta este punto conocemos el valor del angulo <P y el angulo <M, pero como sabemos que la suma de todos los ángulos debe de ser 180, logramos encontrar el valor del angulo <N.

  • <N = 180° – (<P + <M)
  • <N = 180° – (76° + 40.18°)
  • <N = 180° – 119.18°
  • <N = 63.82°

Nuevamente aplicamos la ley de los senos en este ejercicios para calcular el lado faltante, en este caso el lado N:

  • P/<P = N/<N

Posteriormente despejamos.

  • N = (P * <N) / <P

Sustituimos valores

  • N = (12 cm * sen(63.82°)) / sen (76)

Todo lo anterior nos da como resultado 11.09., por lo tanto el lado N tiene un valor de 11.09 cm..

Ejercicio 3: Calcular la longitud de los lados restantes.

Tenemos un triangulo con una longitud de 6 metros en su lado A, Se desconoce la longitud de Lado B y C, pero se sabe que los ángulos de estos lados son B=45^{\circ } y C=105^{\circ }. Con base a esto, ¿Cuál es la longitud de lado B y el Lado C?

ejercicios de ley de senos

Antes de considerar la formula es necesario recordar que en este problema aplicado a la ley de los Senos, sabemos que la suma de todo los ángulos debe de ser de 180°, por lo tanto tenemos lo siguiente:

  • <a + <b + <c = 180°

Donde sabemos bien que solo tenemos dos valores, los cuales quedan de esta forma:

  • <a + 45° + 105° = 180°

Con la formula en desarrollo, podemos hacer la suma de los ángulos B y C, por lo tanto tenemos:

  • <a + 150° = 180°

Despejamos para tener:

  • 180° – 150° = <a

Esto nos da como resultado el valor del angulo a: 30°

En este problema, nosotros ya tenemos los 3 ángulos de cada lado, por lo cual podemos aplicar la ley generalizada de Pitágoras:

  • A/<a = B/<b = C/<c

Recordemos que solo tenemos el valor del angulo A (6m), por lo tanto podemos comenzar a despejar para encontrar el valor de la longitud de B.

  • 6/30° = B/45°

Con la formula y valores, ya elaborados lo siguiente es despejar “B”, para tener la siguiente formula:

problema de la ley de los senos

El resultado de la longitud del lado B es de 5.9 m y si seguimos los mismos pasos, encontremos el resultado del lado C, el cual es de: 11.6 m.

Video Ejercicios de ley de Senos

 

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